44. Dois holofotes iguais situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões de sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme a figura. A área da região S, em unidades de área, é igual a:
Solução
A área S indagada corresponde à interseção dos dois círculos de mesmo raio R. Note que ela é a união de dois 'segmentos de circulo':
A área S indagada corresponde à interseção dos dois círculos de mesmo raio R. Note que ela é a união de dois 'segmentos de circulo':
(ADB)U(AOB). Os segmentos são igais e O e D são os centros dos círculos. Marcamos com cinza o segmento ADB, limitado pelo arco ADB e a corda AB, comum aos dois círculos.
Primeiro é preciso observar que o segmento de círculo, marcado em cinza, é igual ao setor circular OADB (de arco ADB) menos o triângulo OAB, formado por dois triângulos retângulos OAC e OBC. Note que
OA=OB=OD=R. Isto quer dizer que OC=R/2. Sendo o triângulo amarelo um triângulo retângulo, podemos dizer que, sendo OC=R/2, o ângulo vermelho em A é de (pi/6)rad,(30 graus), e o ângulo azul de vértice em O é de (pi/3)rad, (60 graus). Isto implica que o cateto AC do triângulo amarelo mede R(raiz de 3)/2. Assim a área do triângulo OAC mede R^2(raiz de 3)/8. Daí o triângulo OAB mede o dobro, isto é, R^2(raiz de 3)/4.
O arco ADB mede o dobro do ângulo azul, isto é, (2pi/3)rad, (120 graus). Assum o comprimento do arco ADB é (2pi/3)R e daí a área do setor circular OADB mede [(2pi/3)R]R/2,isto é.
[(2pi/3)R^2]/2 = pi(R^2)/3. Sendo o segmento de circulo, ADBC, igual ao setor menos o triângulo OAB, podemos dizer que a área de qualquer dos segmentos é
[(R^2)(4pi - 3 raiz de 3)]/12. Como a área S mais iluminada é formada por dois segmentos, então S mede: [(R^2)(4pi - 3raiz de 3)]/6. Na prova é a opção (A)
45. Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, Quer exatamente 2 filhos homens e decidiu que se a probabilidade fosse inferior a 5o% iria procurar uma clínica para fazer um tratamento específico para garantir que teria os dois filhos homens. Após ps cálculos, o casal que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens é:
(a) 66,7 % (b) 50 % (c) 7,5 % (d) 25 % (e) 37,5 %
Admitindo-se que são iguais as probabilidades de quaisquer resultados, devemos primeiro indagar quantos são os resultados possíveis. Neste caso os resultados possíveis são tantos quantos forem os ternos ordenados que podemos fazer com os elementos H e M. A resposta é 8, porque o produto cartesiano U = {H.M} x {H,M} x {H,M} tem 8 elementos (2x2x2). Note que:
U={(H,H,H),(H,H,M),(H,M,H),(M,H,H).(M,M,M),(M,M,H).(M,H,M),(H,M,M)} que tem 8 elementos. Agora devemos indagar quantos são os casos em que temos exatamente dois homens. Podemos ver que o tal enento é A={(H,H,M),(H,M,H),(M,H,M)} que tem 3 elementos.
Logo a resposta é n(A)/n(U) = 3/8 = 0,375 = 37,5%. Vale a opção (e).
